Reglas y estrategia de Toros y vacas

Qué tipo de juego es Toros y vacas

Un bando elige y oculta un número, y el otro intenta adivinarlo. Quien adivina propone un número de cuatro cifras, y quien guarda el secreto responde solo con dos cuentas. La respuesta exacta no se revela nunca de forma directa. Acumular esas dos cuentas a lo largo de varias rondas es todo el juego.

En inglés se conoce como Bulls and Cows, y en español, como Toros y vacas. En Corea se llama béisbol numérico y toma sus términos del béisbol. Solo hacen falta papel y lápiz, así que es muy anterior a los ordenadores. Parece que se trabaja con números, pero nunca se suma ni se resta nada, de modo que el juego funciona igual con diez colores en lugar de cifras.

Se puede contar con exactitud cuánto interviene la suerte. Un número de cuatro cifras sin repetir tiene diez opciones para la primera cifra, nueve para la segunda, ocho para la tercera y siete para la cuarta, es decir, 5040 en total. Acertar a ciegas a la primera es una probabilidad de 1 entre 5040, pero acotando con lógica suele terminarse en cinco o seis intentos, como se verá más abajo. Esa diferencia es lo que hace divertido el juego.

Reglas básicas

Cómo es el número secreto

El número secreto toma cuatro cifras del 0 al 9 y las alinea. Las cuatro cifras deben ser distintas, así que ninguna se repite. Se permite un cero al principio, de modo que un número como 0473 puede ser la respuesta. Olvidarlo deja fuera casi una décima parte de todos los candidatos desde el comienzo.

Toros y vacas

Al proponer cuatro cifras se obtienen dos cuentas. Un toro es una cifra correcta y en su posición correcta; una vaca es una cifra que está en el número secreto, pero en otra posición. Ninguna cifra cuenta nunca a la vez como toro y como vaca. Por eso, toros más vacas es siempre igual a cuántas de las cuatro cifras propuestas aparecen realmente en alguna parte del número secreto. Ese dato pesa mucho más adelante.

Nada y número acertado

Cero toros y cero vacas es nada: ninguna de las cuatro cifras propuestas está en el número secreto. Cuatro toros es acertar el número, y se gana. También puede ocurrir que todas las cifras sean correctas y todas las posiciones, erróneas, es decir, cero toros y cuatro vacas, que en la práctica es estar casi al final.

Cómo funciona esta aplicación

A partir de aquí se describe lo que hace esta aplicación en concreto. Las versiones de Toros y vacas varían en estos detalles, así que leerlo una vez ayuda a evitar confusiones.

Un secreto al día, el mismo para todos

El número secreto se construye con la fecha de ese día. La cadena de la fecha se pliega en un único número, que sirve para barajar del 0 al 9 y recortar las cuatro primeras cifras. Quien entre el mismo día recibe el mismo número secreto, y pasada la medianoche se abre un puzle nuevo. El reloj es la fecha del propio dispositivo, así que el cambio ocurre en un momento distinto si se está en otra zona horaria.

Tanto la generación del número como la evaluación de las jugadas ocurren por completo en el navegador. El número secreto nunca baja desde un servidor, y las cifras propuestas nunca se envían a uno. No hace falta ninguna cuenta.

Diez intentos

Hay hasta diez jugadas por ronda. Acertar el número termina la ronda en el acto; si se usan los diez sin acertar, la ronda se cierra y la respuesta se muestra en pantalla. El número de intentos restantes se muestra siempre sobre el cuadro de entrada. Diez es una cifra bastante holgada: como se cuenta en la sección 5, jugando solo con lógica se termina en ocho intentos como máximo, incluso en el peor caso.

Cómo se filtra la entrada

Se escriben las cuatro cifras seguidas en el cuadro. Todo lo que no sea una cifra se rechaza, y un quinto carácter se corta. Si las cuatro cifras escritas incluyen una repetida, aparece un mensaje que indica que deben ser distintas y el botón para probar queda desactivado. La tecla Intro también envía. No hay restricción en el orden de las propuestas: se puede probar lo que se quiera, cuando se quiera.

Qué no se guarda

Conviene decirlo con claridad. Las jugadas hechas hasta el momento solo existen en pantalla y no se guardan en ninguna parte. Al recargar, o al cerrar y volver a abrir la pestaña, el historial se borra y se empieza de cero. El número secreto sigue saliendo de la fecha, así que es el mismo durante el día, pero las pistas ya deducidas solo viven en la cabeza de quien juega. Lo más cómodo es dejar la pestaña abierta mientras dura una ronda.

También es útil saber lo que falta. No hay un botón de pista que revele la respuesta, ni deshacer para retirar una jugada, ni nada que cuente por usted los candidatos restantes. Tampoco hay cronómetro.

Qué incluye el texto para compartir

Al terminar una ronda aparece un botón para copiar el resultado. El texto copiado incluye la fecha, cuántos intentos hicieron falta y, de cada jugada, solo cuántos toros y cuántas vacas hubo, representados con símbolos. No incluye ni el número secreto ni las cifras propuestas. Está pensado para que, al enviarlo a alguien que aún no ha jugado hoy, no se revele la respuesta.

Consejos básicos

Cualquier primera jugada es igual

Mucha gente se detiene en la jugada inicial, pero la respuesta corta es que no hace falta. Si se prueban las 5040 primeras jugadas posibles y se cuenta cómo cada una reparte los 5040 candidatos, el resultado es idéntico siempre. Empezar con 0123 o con 5907 deja exactamente el mismo número de candidatos para cada resultado posible, cifra por cifra. Sin información previa, ninguna cifra se distingue de otra. Elegir primero el número de la suerte o una fecha de cumpleaños no cuesta nada.

Cuánto acota el primer resultado

Esta es la tabla que sale de ese cálculo: todos los resultados posibles de una primera jugada y cuántos candidatos a número secreto quedan en cada caso. Suman 5040.

El resultado más frecuente es 0 toros y 1 vaca, que ocurre 1440 veces de 5040. Promediando todos los resultados, tras una jugada quedan 931,41 candidatos, más o menos una quinta parte de los 5040 originales. Aún parece mucho camino, pero desde la segunda jugada el recorte es bastante más rápido.

Mirar primero la suma

Este es el primer hábito que separa a quien empieza de quien tiene experiencia. No conviene leer toros y vacas por separado: se suman primero. Esa suma es exactamente cuántas de las cuatro cifras propuestas están en el número secreto. Con 1 toro y 2 vacas, hay tres cifras dentro y una fuera. Todavía no se sabe cuáles son, pero la cantidad está fijada. Las posiciones pueden esperar a después.

Un resultado de nada no es un desperdicio

Un resultado sin ninguna coincidencia parece un fracaso, pero en realidad es uno de los que más acotan. Si se propone 0123 y sale nada, el número secreto está formado solo por las seis cifras del 4 al 9, y quedan apenas 360 candidatos, exactamente la cantidad de selecciones ordenadas de cuatro entre seis. Frente a la media de 931,41 tras la primera jugada, un resultado de nada lo deja en cerca de un tercio. Si sale nada, se descartan con certeza esas cuatro cifras y, de ahí en adelante, se elige solo entre las seis restantes.

Mantener a la vista las cifras descartadas

Esta aplicación no cuenta los candidatos y el historial de jugadas desaparece al recargar. Resulta mucho más fácil anotar del 0 al 9 en un papel y tachar las cifras a medida que se descartan. Basta una sola línea en una aplicación de notas. Hacerlo todo de memoria suele gastar dos o tres de los diez intentos en volver a comprobar algo que ya se sabía.

Consejos avanzados

Todos los números que siguen salen de recorrer de verdad las 5040 posibilidades, no de una estimación. Cada uno es el resultado de evaluar un desenlace por vez y sumar lo que queda.

Solapar la segunda jugada en una o dos cifras

Fijando la primera jugada en 0123, se probaron las 5040 segundas jugadas posibles y se calculó la media de candidatos restantes para cada una. Agrupando por cuántas cifras coinciden con la primera jugada, los resultados se separan con claridad.

• Una cifra en común: medias de 170,3 a 183,1
• Dos cifras en común: medias de 167,0 a 204,4, donde se da el mínimo
• Ninguna en común: exactamente 216,1 de media, sea cual sea la jugada sin coincidencias
• Tres cifras en común: medias de 199,1 a 293,1
• Las cuatro en común: 495,8 o más de media; repetir exactamente el mismo número se queda en 931,4

Un consejo habitual es seguir 0123 con 4567 para recorrer ocho cifras de golpe. No está mal, pero tampoco es lo óptimo. Sin coincidencias, la media es de 216,1 candidatos sea cual sea la jugada, pero conservando dos cifras de la primera y cambiándolas de posición, con un número como 1045, baja a 167,0. El motivo es sencillo: volver a proponer cifras repetidas con las posiciones cambiadas hace dos preguntas a la vez, qué cifras están y dónde están.

Reordenar las mismas cuatro cifras es un desperdicio

Seguir 0123 con 1032, que mantiene las mismas cifras y solo baraja las posiciones, fue la peor opción, con 495,8 candidatos restantes de media, más del doble que una jugada sin coincidencias. No se aprende nada nuevo sobre qué cifras están, porque ya se propusieron las cuatro. Este movimiento pertenece al final de la partida, cuando ya se han identificado todas las cifras y solo quedan las posiciones, no al principio.

Cuando un resultado deja menos de diez candidatos

Algunas filas de la tabla anterior merecen una mirada más atenta. Un resultado de 0 toros y 4 vacas deja exactamente nueve candidatos, porque las cuatro cifras son correctas y todas las posiciones son erróneas. Con 0123, esos nueve son 1032, 1230, 1302, 2031, 2301, 2310, 3012, 3201 y 3210. Un resultado de 2 toros y 2 vacas deja solo seis, porque basta con decidir qué dos posiciones son correctas e intercambiar las otras dos. Con 3 toros y 0 vacas quedan 24, que cubren cada elección de cuál de las cuatro posiciones es la errónea, combinada con cualquiera de las seis cifras restantes que la ocupen.

Conociendo las cuatro cifras, tres toros no pueden darse

Una vez confirmadas las cuatro cifras del número secreto, solo queda su orden, con 24 posibilidades. Proponer cualquiera de ellas solo puede producir cuatro resultados: 0 toros (9 formas), 1 toro (8 formas), 2 toros (6 formas) o el número acertado (1 forma). Tres toros es imposible, porque si tres posiciones son correctas, la cuarta lo es automáticamente. Así, en esta etapa, salir con 2 toros deja seis candidatos, y un intercambio más de dos posiciones en la jugada siguiente suele resolverlo.

Un ejemplo resuelto

Hablar en abstracto no da una idea clara, así que aquí va una ronda completa contada. Empezando con 0123 y obteniendo 1 toro y 1 vaca, los 5040 se reducen a 720. Con 2345 y de nuevo 1 toro y 1 vaca, quedan 92. Con un tercer intento, 4567, y un resultado de 0 toros y 2 vacas, quedan solo 28. Tres jugadas convirtieron 5040 en 28. Una o dos jugadas buenas más, y la respuesta queda fijada.

Elegir la jugada que minimiza el peor caso

Hay un criterio para elegir la siguiente jugada entre los candidatos restantes: mirar cómo esa jugada reparte los candidatos según el resultado y escoger la jugada cuyo grupo mayor sea el más pequeño. Optimiza el peor caso, no la media. Llevada hasta el final para cada uno de los 5040 números secretos posibles, esta estrategia termina en 5,32 intentos de media, y el caso más largo tarda ocho. De los 5040 números secretos, 109 terminan en tres intentos; cinco intentos es el caso más común, con 2071; y solo tres de los 5040 tardan ocho. Por eso diez intentos resulta holgado. Este cálculo exacto no se puede hacer de cabeza, pero con intentar dividir los candidatos restantes aproximadamente por la mitad en cada jugada se recorre buena parte del camino.

Dónde suele atascarse uno

Salen solo vacas una y otra vez

Muchas vacas significan en realidad que se han elegido las cifras correctas, pero en posiciones equivocadas, lo cual es una buena señal, no mala. Meter cifras nuevas aquí solo enturbia la información ya reunida. Se conservan las cifras de las que se está seguro y se cambian de lugar. Si una jugada gana un toro y pierde una vaca, la posición a la que se acaba de mover es la correcta.

Se conocen las cifras, pero no su posición

Quedan 24 candidatos. No conviene darle la vuelta a todo de una vez: se intercambian solo dos posiciones por vez y se observa cómo se mueve la cuenta de toros, porque ese movimiento es la respuesta. Si sube en 2, las dos posiciones recién ocupadas son correctas. Si sube en 1, lo es solo una de ellas. Si no cambia, ni las dos posiciones originales ni las intercambiadas eran correctas, así que esas dos cifras van en los otros dos huecos. Si baja en 1, una de las dos posiciones originales era en realidad correcta; si baja en 2, lo eran las dos y se las movió sin necesidad. Esos cinco resultados cubren todos los casos, así que no hay ambigüedad. Mover tres o más posiciones a la vez, en cambio, hace imposible saber qué movimiento causó el cambio.

Olvidarse del cero

Es el error más común. Un cero inicial es una respuesta válida, pero muchos jugadores proponen sin darse cuenta solo las cifras del 1 al 9. Excluir el cero descarta 2016 de los 5040 candidatos desde el principio. Incluir un cero en la primera jugada evita este problema por completo.

Preguntar algo que ya se sabe

Conviene comprobar una vez, antes de proponer, si la jugada prevista encaja con todo lo aprendido hasta el momento. Si mezcla una cifra ya descartada por un resultado de nada, o rompe una posición ya confirmada, esa jugada enseña casi nada, sea cual sea la respuesta. Elegir solo entre jugadas que, según lo que ya se sabe, podrían ser la respuesta ahorra por sí solo dos o tres intentos.

Desapareció el historial

Al recargar se borra el historial de jugadas y la ronda empieza de nuevo. El número secreto de hoy sigue siendo el mismo, así que lo ya deducido sigue siendo válido. Si se anotó en papel, se puede seguir con eso. Si no se anotó nada, en la práctica se empieza de cero. Si una ronda se prevé larga, conviene apuntar las jugadas y los resultados en algún sitio.

Se pasó la ronda de hoy

Puedes volver a jugar los puzles de los últimos 14 días desde «Rondas anteriores» en la página de inicio. Como el número secreto se deriva de la fecha de ese día, una misma fecha siempre da el mismo puzle. Los puzles de hace más de 14 días no se abren, y a la medianoche de mañana se abre un puzle nuevo que nadie ha resuelto todavía.